Геометрія на сірниках

Коробка сірників або пучок паличок однакової довжини — відмінна допомога для геометричних розваг, що вимагають винахідливості і розвивають кмітливість.

З сірників можна скласти всілякі прямолінійні фігури; перетворювати одну фігуру на іншу шляхом перекладання сірників; навіть теореми можна доводити на сірниках. Розглянемо для прикладу таку задачу.

Скільки однакових квадратів можна скласти з 24 сірників, не ламаючи їх і використовуючи при цьому всі сірники?

Якщо на кожну сторону квадрата спожити по 6 сірників (більше не можна), то вийде один квадрат.

При стороні квадрата в 5 або в 4 сірники однакових квадратів зі всіх 24 сірників не вийде. При стороні в 3 сірники можна  викласти  два  квадрати (Рис.1).

Мал.  1.   З 24 сірників 2 квадрати

При стороні квадрата в 2 сірники – три квадрати (Рис.  2).

Мал.  2.  З 24 сірників 3 квадрати

          

Зверніть увагу, що з квадратів із сторонами в 3 і 2 сірники можна утворити ще додаткові квадрати інших розмірів, як показано на малюнках 3 і 4: один додатковий квадрат (1) з квадратів із стороною в 3 сірники (Рис.  3),

Мал.  3. Можна утворити додатковий квадрат

чотири додаткові квадрати (1 – 4) з квадратів в два сірники (Рис.  4).

Мал.  4. Чотири додаткові квадрати

Якщо з кожних чотирьох сірників скласти один квадрат, то з 24 сірників можна утворити 6 однакових квадратів (Рис.  5, а).
Якщо ж деякі сірники двічі вважати сторонами квадратів, то з 24 сірників можна утворити 7 однакових квадратів (Рис.  5, би), або 8 (Рис.  6, а, би) або навіть 9 (Рис.  6, в).

Мал.  5. З 24 сірників 6 і 7 квадратів

При складанні трьох останніх  фігур утворилися ще додаткові квадрати інших розмірів: один на  мал. 6, а, два на мал. 6, би і п'ять на мал. 6, в (знайдіть їх).

Мал.  6. З 24 сірників 8 і 9 квадратів

При стороні квадрата в  сірника (допускається накладення одного сірника упоперек іншої) можна отримати 16 квадратів однакового розміру і 4 додаткові квадрати. Всього 20 квадратів (Рис.  7).

Мал.  7. З 24 сірників 20 квадратів

З 24 сірників при стороні квадрата в сірники може бути утворено 27 однакових квадратів, а з додатковими квадратами інших розмірів – 42 (мал. 8), і, нарешті, при стороні квадрата в сірники – 50 квадратів однакового розміру (мал. 8).

Мал.  8. З 24 сірників 42 і 50 квадратів

Якщо ж рахувати додаткові квадрати (їх 60), то всього вийде 110 квадратів.